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INECUACIONES CUADRÁTICAS


Las siguientes expresiones x2 + 2x < 15yx2 ≥2x + 3 representan inecuaciones cuadráticas.Una inecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación.De manera que, la forma estándar de las dos inecuacionesanteriormentemencionadassería:x2 + 2x – 15 < 0yx2 – 2x – 3 ≥0
Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a ambos lados de la inecuación.
A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:

  1. Escribe la inecuación en forma estándar.
  2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.
  3. las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos.Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica.Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos. Usa
  4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la inecuación.El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.
  5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.




Forma de Solución


La inecuación cuadrática o de segundo grado:
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
solución a la ecuación
solución a la ecuación

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
gráfica
gráfica

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
gráfica
gráfica

S = (-∞, 2)
Unión
Unión
(4, ∞)


x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
solución
solución

(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
R
R



Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0
(x + 1)2 ≥ 0
R
R

x2 + 2x +1 > 0
(x + 1)2 > 0
R-1
R-1

x2 + 2x +1 ≤ 0
(x + 1)2 ≤ 0
x = − 1
x2 + 2x +1 < 0
(x + 1)2 < 0
vacio
vacio

x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
solución
solución

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es
R
R
.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución
x2 + x +1 ≥ 0
R
R

x2 + x +1 > 0
R
R

x2 + x +1 ≤ 0
vacio
vacio

x2 + x +1 < 0
vacio
vacio